Mithilfe von Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz lassen sich Rechenaufgaben vereinfachen und schneller lösen.
Die Mathematik folgt klaren Regeln, damit sowohl der Professor, wie auch der Schüler und dessen Eltern bei der Lösung einer Aufgabe auf das gleiche Ergebnis kommen. Da Mathematiker sich das Leben nicht unnötig schwer machen wollen, zählen Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz zu den Grundregeln der Mathematik.
Kommutativgesetz – die Reihenfolge von Termen vertauschen
Das Kommutativgesetz lässt sich auf Additionen und Multiplikationen anwenden. Es besagt, dass bei diesen Rechenarten die Reihenfolge der Terme vertauscht werden kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Allgemein ausgedrückt ergibt sich für das Kommutativgesetz:
- Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a
- Kommutativgesetz der Multiplikation: a · b = b · a
Der Name Kommutativgesetz leitet sich vom lateinischen Wort commutare ab, was vertauschen bedeutet. Daher wird es auch Vertauschungsgesetz genannt.
Werden die Variablen a und b durch natürliche Zahlen ersetzt, lässt sich das Kommutativgesetz beweisen. So ergibt zum Beispiel 2 + 3 in der Summe 5; genau wie 3 + 2.
Das Kommutativgesetz kann auch bei der Darstellung von Variablen und Koeffizienten angewandt werden. So ist statt der Schreibweise ab3c, was so viel bedeutet wie a · b · 3 · c, auch die Schreibweise 3abc möglich, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Gleichzeitig sieht letztere Schreibweise auch noch schöner aus.
Assoziativgesetz – Terme umgruppieren
Genau wie das Kommutativgesetz, lässt sich auch das Assoziativgesetz auf Additionen und Multiplikationen anwenden. Es besagt, dass die Terme bei diesen Rechenarten unterschiedlich gruppiert werden können, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Somit ergibt sich für das Assoziativgesetz:
- Assoziativgesetz der Addition: a + (b + c) = (a + b) + c
- Assoziativgesetz der Multiplikation: a · (b · c) = (a · b) · c
Das Assoziativgesetz lässt sich beweisen, indem die Variablen a, b und c durch natürliche Zahlen ersetzt werden. Egal ob man nun 2 + (3 + 4) oder (2 + 3) + 4 rechnet, am Ergebnis von 9 ändert sich nichts.
Es ist also egal, ob man zunächst drei und vier addiert und zum Ergebnis zwei hinzuzählt; oder ob man zuerst zwei plus drei rechnet und zum Ergebnis vier addiert.
Da man sich die Reihenfolge der Verknüpfung aussuchen kann, ist es jedem Möglich die Aufgabe so umzustellen, wie er sie am leichtesten lösen kann.
Mithilfe des Assoziativgesetzes, das auch Verbindungsgesetz genannt wird, lassen sich Ausdrücke also vereinfachen und an die eigenen Fähigkeiten anpassen. Es kann bei Bedarf mit dem Kommutativgesetz kombiniert werden.
Kombination von Assoziativgesetz und Kommutativgesetz
Die Kombination von Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bietet sich an, wenn eine Unbekannte im Spiel ist. So lässt sich zum Beispiel (2x + 19) + (3x + 11) deutlich leichter berechnen, wenn zunächst die Klammern wegfallen (Assoziativgesetz) und dann die beiden mittleren Terme vertauscht werden (Kommutativgesetz). Durch Kombination von Assoziativgesetz und Kommutativgesetz, ergibt sich (2x + 3x) + (19 + 11). Das Ergebnis von 5x + 30 ist so wesentlich schneller berechnet als bei der ersten Schreibweise. Gerade bei komplexeren Aufgaben lässt sich dadurch viel Zeit sparen.
Distributivgesetz – Koeffizienten verteilen
Das Distributivgesetz gilt für die Addition und die Subtraktion. Es besagt, dass jeder Term innerhalb einer Klammer mit dem Koeffizienten außerhalb der Klammer multipliziert werden kann, ohne den Wert des eingeklammerten Ausdrucks zu verändern. Für das Distributivgesetz gilt also:
- Distributivgesetz der Addition: a · (b + c) = a · b + a · c
- Distributivgesetz der Subtraktion: a · (b – c) = a · b – a · c
Da der Koeffizient beim Distributivgesetz auf die Terme innerhalb des eingeklammerten Ausdrucks verteilt wird, spricht man auch vom Verteilungsgesetz.
Faktorisieren – Umkehrung des Distributivgesetzes
Die Umkehrung des Distributivgesetzes ist das Ausklammern, was auch Faktorisieren genannt wird. So lässt sich zum Beispiel statt 5 · 2 + 5 · 3 + 5 · 4 dank des Faktorisierens auch 5 · (2 + 3 + 4) schreiben. Dadurch wird nur eine Multiplikation nötig und man kann mit niedrigeren Zahlen rechnen.